Question

設函數f(x)=|x²-4x-5|.

（1）在區間［-2，6］上畫出函數f(x)的圖象.

（2）設集合A={x|f(x)≥5},B=(-∞,-2］∪［0,4］∪［6,+∞).試判斷集合A和B之間的關系，并給出證明.

（3）當k＞2時，求證：在區間［-1，5］上，y=kx+3k的圖象位于函數f(x)圖象的上方.

Answer 1

（1）解析：

（2）解析：方程f(x)=5的解分別是2-，0，4和2+，由于f(x)在（-∞,-1］和［2，5］上單調遞減，在［-1,2］和［5,+∞)上單調遞增，因此

A=（-∞,2-］∪［0,4］∪［2+,+∞).

由于2+＜6,2-＞-2,∴BA.

(3)證明:當x∈［-1,5］時，f(x)=-x²+4x+5.

g(x)=k(x+3)-(-x²+4x+5)

=x²+(k-4)x+(3k-5)

=(x-)²-,

∵k＞2,∴＜1.又-1≤x≤5,

①當-1≤＜1,即2＜k≤6時，取x=.

g(x)_min=-=-［(k-10)²-64］.

∵16≤(k-10)²＜64,

∴(k-10)²-64＜0,

則g(x)_min＞0.

②當＜-1,即k＞6時，取x=-1,g(x)_min=2k＞0.

由①、②可知，當k＞2時，g(x)＞0,x∈［-1,5］.

因此，在區間［-1，5］上，y=k(x+3)的圖象位于函數f(x)圖象的上方.