Question

設(shè)△ABC的三內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，sinA、sinB、sinC成等比數(shù)列，則這個(gè)三角形的形狀是（　　）

A．直角三角形

B．鈍角三角形

C．等腰直角三角形

D．等邊三角形

Answer 1

分析：先由△ABC的三內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，求得∠B=60°，∠A+∠C=120°①；再由sinA、sinB、sinC成等比數(shù)列，得sin²B=sinA•sinC，②，①②結(jié)合即可判斷這個(gè)三角形的形狀．

解答：解：∵△ABC的三內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，
∴∠B=60°，∠A+∠C=120°①；
又sinA、sinB、sinC成等比數(shù)列，
∴sin²B=sinA•sinC=

3

4

，②
由①②得：sinA•sin（120°-A）
=sinA•（sin120°cosA-cos120°sinA）
=

3

4

sin2A+

1

2

•

1-cos2A

2

=

3

4

sin2A-

1

4

cos2A+

1

4

=

1

2

sin（2A-30°）+

1

4

=

3

4

，
∴sin（2A-30°）=1，又0°＜∠A＜120°
∴∠A=60°．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與三角函數(shù)的綜合，關(guān)鍵在于求得∠B=60°，∠A+∠C=120°，再利用三角公式轉(zhuǎn)化，著重考查分析與轉(zhuǎn)化的能力，屬于中檔題．