Question

設△ABC的三內角A、B、C成等差數列，三邊 a，b，c成等比數列，則這個三角形的形狀是（　　）

A．直角三角形

B．鈍角三角形

C．等腰直角三角形

D．等邊三角形

Answer 1

分析：根據題意，利用等差數列及等比數列的性質列出關系式，再利用內角和定理求出B的度數，利用正弦定理化簡，再利用積化和差公式變形，利用特殊角的三角函數值計算求出cos

A-C

2

=1，確定出A=C，即可確定出三角形形狀．

解答：解：∵△ABC的三內角A、B、C成等差數列，三邊a，b，c成等比數列，
∴2B=A+C，b²=ac，
∵A+B+C=180°，∴B=60°，
利用正弦定理化簡b²=ac得：sin²B=sinAsinC=

cos A+C 2 -cos A-C 2

2

，即

3

4

=

1 2 -cos A-C 2

2

，
∴cos

A-C

2

=1，即

A-C

2

=0，
∴A-C=0，即A=C=60°，
則這個三角形的形狀為等邊三角形．
故選D

點評：此題考查了三角形形狀的判斷，等差數列、等比數列的性質，正弦定理，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理及性質是解本題的關鍵．