Question

已知 

m

=(

3

sinx，cosx），

n

=（cosx，-cosx），x∈R，定義函數f（x）=

m

•

n

-

1

2

（1）求函數f（x）的最小正周期，值域，單調增區間．
（2）設△ABC的三內角A，B，C所對的邊分別為a、b、c，且c=

3

，f（C）=0，若向量

d

=（1，sinA）與 

e

=（2，sinB）共線，求邊a，b的值及△ABC的面積S？

Answer 1

分析：（1）利用向量的數量積的坐標表示及輔助角公式對已知函數進行化簡，然后結合正弦函數的性質即可求解
（2）由f（C）=sin（2C-

π

6

）-1=0，及C為△ABC的內角，可求C，然后結合向量共線的坐標表示可得sinB與sinA的關系，根據正弦定理進而可得b與a的關系，最后利用余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，即可求解

解答：解：（1）∵f（x）=

m•

n

-

1

2

=

3

sinx•cosx-cos2x-

1

2

 
=

3

2

 sin2x-

1+cos2x

2

-

1

2

=sin(2x-

π

6

)-1 
∴f（x）的最小正周期T=π，值域為[-2，0]，
令2kπ2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

 ⇒kπ+

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，（k∈Z），
∴f（x）的增區間為：[kπ+

π

6

，kπ+

π

3

] （k∈Z），
（2）∵f（x）=sin(2x-

π

6

)-1，f（C）=0，
∴f（C）=sin（2C-

π

6

 ）-1=0，又C為△ABC的內角，
∴C=

π

3

 
又

d

=（1，sinA）與

e

=（2，sinB）共線
∴sinB=2sinA，根據正弦定理得：b=2a①，
由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，即3=a²+b²-ab②，
聯立①②，解得a=1，b=2．
∴△ABC的面積S=

1

2

absinC=

3

2

點評：本題主要考查了向量數量積及向量平行的坐標表示的應用，二倍角公式、輔助角公式等公式在三角函數化簡中的應用，正弦定理及余弦定理的綜合應用，本題具有一定的綜合性