Question

【題目】設函數， 表示導函數.

（1）當時，求函數在點處的切線方程；

（2）討論函數的單調區間；

（3）對于曲線上的不同兩點，求證：存在唯一的，使直線的斜率等于.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）見解析

【解析】試題分析：

(1)將 代入函數的方程，結合導函數與函數切線的關系求解函數的切線方程即可；

(2)首先求得 ，然后結合導函數的性質分類討論實數 的取值范圍即可得出函數的單調區間；

(3)首先證明點 存在，然后利用一次函數的單調性證明 的唯一性即可.

試題解析：

（1）時， ， ， ， 在點處的切線方程為；

（2）， 的定義域為

當時， 在區間單調遞增；

當時， 在區間單調遞增，在區間單調遞減.

（3）∵，∴，化簡得

即，且唯一．

設，則，

再設， ，∴，

∴在是增函數，

∴，同理，

∴方程在有解．

∵一次函數在 是增函數，

∴方程在有唯一解，命題成立．