Question

2007年廣東省實行高中等級考試，高中等級考試成績分A，B，C，D四個等級，其中等級D為不合格，09年我校高二學(xué)生盛興參加物理、化學(xué)、歷史三科，三科合格的概率均為

4

5

，每科得A，B，C，D 四個等級的概率分別為x，

2

5

，

3

10

，y，
（Ⅰ）求x，y的值；
（Ⅱ）若有一科不合格，則不能拿到高中畢業(yè)證，求學(xué)生盛興不能拿到高中畢業(yè)證的概率；
（Ⅲ）若至少有兩科得A，一科得B，就能被評為三星級學(xué)生，則學(xué)生甲被評為三星級學(xué)生的概率；
（Ⅳ）設(shè)ξ為學(xué)生盛興考試不合格科目數(shù)，求ξ的分布列及ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)物理、化學(xué)、歷史三科，三科合格的概率、概率的基本性質(zhì)列出關(guān)于x，y的方程組，解之即得x，y的值
（Ⅱ）利用三科不合格的概率結(jié)合對立事件的概率計算公式即可求得：學(xué)生盛興不能拿到高中畢業(yè)證的概率；
（Ⅲ）根據(jù)每科得A，B的概率結(jié)合n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生k次的概率的計算公式即可求得：學(xué)生盛興被評為三星級學(xué)生的概率；
（Ⅳ）ξ的可能值為0，1，2，3，依次求得它們的概率得出：ξ的分布列，再根據(jù)期望的計算公式即可救是ξ的數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（Ⅰ）∵

x+ 2 5 + 3 10 = 4 5 x+ 2 5 + 3 10 +y=1

，
∴x=

1

10

，y=

1

5

；
（Ⅱ）∵三科不合格的概率均為

1

5

，
∴學(xué)生盛興不能拿到高中畢業(yè)證的概率P=1-

C

0 3

×(

1

5

)0×(

4

5

)3=1-

64

125

=

61

125

；
（Ⅲ）∵每科得A，B的概率分別為

1

10

，

2

5

，
∴學(xué)生盛興被評為三星級學(xué)生的概率為P=(

1

10

)3+

C

2 3

×(

1

10

)2×

2

5

=

13

1000

．
（Ⅳ）ξ的可能值為0，1，2，3，
∵P(ξ=0)=(

4

5

)3=

64

125

，P(ξ=1)=

C

1 3

×

1

5

×(

4

5

)2=

48

125

，P(ξ=2)=

C

2 3

×(

1

5

)2×

4

5

=

12

125

，P(ξ=3)=(

1

5

)3=

1

125

．
∴ξ的分布列如下表：

ξ	0	1	2	3
P	64 125	48 125	12 125	1 125

∴ξ的數(shù)學(xué)期望E_ξ=0×

64

125

+1×

48

125

+2×

12

125

+3×

1

125

=

3

5

．

點評：此題是個中檔題．本題考查古典概型及共概率計算公式，離散型隨機變量的分布列數(shù)學(xué)期望、概率的基本性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運用概率知識解決實際問題的能力．