Question

重慶市某中學計劃2010年在重慶新聞、影視頻道“做100周年校慶”總時間不超過300分鐘的廣告，廣告總費用不超過9萬元，新聞、影視頻道的廣告收費標準分別為500元/分鐘和200元/分鐘，規(guī)定新聞、影視頻道為我校所做的每分鐘廣告，能給學校帶來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元．問學校如何分配在新聞、影視頻道的廣告時間，才能使學校的收益最大，最大收益是多少萬元？

Answer 1

分析：本題先找出約束條件與目標函數(shù)，即先設做廣告的時間分別為x分鐘和 y分鐘，總收益為z元，然后根據(jù)題意建立約束條件和目標函數(shù)，最后根據(jù)目標函數(shù)平移的方法解決最優(yōu)解，從而得到結論．準確地描畫可行域，再利用圖形直線求得滿足題設的最優(yōu)解．

解答：解：設做廣告的時間分別為x分鐘和 y分鐘，總收益為z元，
由題意得

x+y≤300 500x+200y≤90000 x≥0，y≥0.

目標函數(shù)為z=3000x+2000y．  （6分）
二元一次不等式組等價于

x+y≤300 5x+2y≤900 x≥0，y≥0.

作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域．如圖：
作直線z=3000x+2000y
當直線l過M點時，目標函數(shù)取得最大值．
聯(lián)立

x+y=300 5x+2y=900.

解得x=100，y=200．
∴點M的坐標為（100，200）．
∴z_max=3000x+2000y=700000（元） （13分）
答：在新聞、影視頻道分別做100，200分鐘廣告，收益最大，最大收益是70萬元．

點評：利用線性規(guī)劃的思想方法解決某些實際問題屬于直線方程的一個應用．用圖解法解決線性規(guī)劃問題時，分析題目的已知條件，找出約束條件和目標函數(shù)是關鍵，可先將題目中的量分類、列出表格，理清頭緒，然后列出不等式組（方程組）尋求約束條件，并就題目所述找出目標函數(shù)．然后將可行域各角點的值一一代入，最后比較，即可得到目標函數(shù)的最優(yōu)解．