Question

已知拋物線y=x²+（a-2）x+b過點（-1，-2），且對一切x∈R，拋物線都不在直線y=2x下方，求實數a，b的值．

Answer 1

分析：因為拋物線y=x²+（a-2）x+b過點（-1，-2），所以點（-1，-2）滿足拋物線方程，可得b=a-5，又因為對一切x∈R，拋物線都不在直線y=2x下方，所以x²+（a-2）x+b≥2x對于一切x∈R都成立，所以判別式△≤0恒成立，即可得到關于a，b的不等式，把b=a-5代入，解得a的范圍，根據a的范圍求出a值，再根據b=a-5求出b．

解答：解：∵拋物線y=x²+（a-2）x+b過點（-1，-2），
∴1-a+2+b=-2，即b=a-5
∵且對一切x∈R，拋物線都不在直線y=2x下方，
∴x²+（a-2）x+b≥2x對于一切x∈R都成立，即x²+（a-4）x+b≥0對于一切x∈R都成立．
∴△=（a-4）²-4b≤0，把b=a-5代入，得，a²-12a+36≤0
（a-6）²≤0，∴a=6，b=6-5=1
∴a=6，b=1

點評：本題主要考查了運用函數性質解決不等式恒成立問題的方法和二次函數的圖象及性質，解題時要有較強的轉化化歸能力和理解能力