Question

已知拋物線y=-x2+ax+

1

2

與直線y=2x
（1）求證：拋物線與直線相交；
（2）求當拋物線的頂點在直線的下方時，a的取值范圍；
（3）當a在（2）的取值范圍內時，求拋物線截直線所得弦長的最小值．

Answer 1

分析：（1）把直線方程與拋物線方程聯立，轉化為關于X的方程，只要對應方程的判別式恒大于0即可說明結論；
（2）先求出拋物線的頂點坐標，在根據拋物線的頂點在直線的下方得到關于a的不等式，解之即可求出a的取值范圍；
（3）把直線方程與拋物線方程聯立，轉化為關于X的方程求出兩根之和與兩根之積，再結合弦長公式以及第二問中a的取值范圍即可求出拋物線截直線所得弦長的最小值．

解答：解：（1）由

y=2x y=-x2+ax+ 1 2 ?2x2+(4-2a)x-1=0，△=(4-2a)2+8＞0，

∴直線與拋物線總相交．
（2）∵y=-x2+ax+

1

2

=-(x-

a

2

)2+

a2+2

4

，其頂點為(

a

2

，

a2+2

4

)，
且頂點在直線y=2x的下方，
∴

a2+2

4

＜2•

a

2

，
即a2-4a+2＜0?2-

2

＜a＜2+

2

．
（3）設直線與拋物線的交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則

x1+x2= 2a-4 2 =a-2 x1•x2=- 1 2

∴|AB|=

1+22

•

(a-2)2+2

=

5[(a-2)2+2]

．
∵2-

2

＜a＜2+

2

，
∴當a=2時，|AB|min=

10

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題．解決第一問的關鍵在于把直線與拋物線相交問題轉化為對應方程組有根的問題，再轉化為對應方程有根的問題．