Question

【題目】在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC是正三角形，E是AB中點，A1E⊥平面ABC．
（I）證明：BC1∥平面 A1EC；
（II）若A1A⊥A1B，且AB=2．
①求點B到平面ACC1A1的距離；
②求直線CB1與平面ACC1A1所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】解：（I）證明：設AC1與A1C交于F點，連接EF，
∵E，F分別是線段AB，AC1的中點，
∴EF∥BC1 ， 又EF平面 A1EC，BC1平面A1EC
故 BC1∥平面A1EC，
（II）①在正三角形A BC中，過E作E H⊥AC于H，連接A1H
顯然AC⊥平面A1EH，
∵AC平面ACC1A1
∴平面A1EH⊥平面ACC1A1 ， 且兩個平面的交線為A1H
過E作EG⊥A1H于G，則EG⊥平面ACC1A1
在Rt△AA1B中，由已知易得A1E=1，在正三角形ABC中，
則在Rt△A1E H中，
即點E到平面ACC1A1的距離為 ，
∵E是線段AB中點，
∴點B到平面ACC1A1的距離 ，
②延長EB至R點，使EB=BR=1，連接RC，
∴B1R∥A1E，則B1R⊥平面ARC，即有B1R⊥RC
在△BRC中易得 ，
∴
設直線B1C與平面ACC1A1所成角為φ
則 ．

【解析】（Ⅰ）根據線面平行的判定定理進行證明即可．（Ⅱ）根據點到平面的距離公式以及線面角的定義，結合三角形的邊角關系進行求解．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．