Question

【題目】如圖，四面體ABCD中，AB、BC、BD兩兩垂直，AB=BC=BD=4，E、F分別為棱BC、AD的中點．

（1）求異面直線AB與EF所成角的余弦值；
（2）求E到平面ACD的距離；
（3）求EF與平面ACD所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，分別以直線BC，BD，AB為x，y，z軸建立空間直角坐標系，

∵AB=BC=BD=4，E、F分別為棱BC、AD的中點．

∴A（0，0，4），C（4，0，0），D（0，4，0），E（2，0，0），F（0，2，2），

∵ =（0，0，﹣4）， =（﹣2，2，2），

設異面直線AB與EF所成角為θ，

則cosθ= = = ，

即異面直線AB與EF所成角的余弦值為

（2）解：設平面ACD的一個法向量 =（x，y，1），

∵ =（4，0，﹣4）， =（﹣4，4，0），

由 ，得 ，

故 =（1，1，1），

∵F∈平面ACD， =（﹣2，2，2），

∴E到平面ACD的距離d= = =

（3）解：由（2）中平面ACD的一個法向量 =（1，1，1），

設EF與平面ACD所成角為α．

則sinα=cos＜ ， ＞= = = ．

【解析】（1）如圖，分別以直線BC，BD，AB為x，y，z軸建立空間直角坐標系，求出異面直線AB與EF的方向向量，代入向量夾角公式，可得異面直線AB與EF所成角的余弦值；（2）求出平面ACD的一個法向量 =（1，1，1），結合F∈平面ACD， =（﹣2，2，2），可得：E到平面ACD的距離d= ；（3）由（2）中平面ACD的一個法向量 =（1，1，1），設EF與平面ACD所成角為α．則sinα=cos＜ ， ＞．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解異面直線及其所成的角的相關知識，掌握異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發現兩條異面直線間的關系，以及對空間角的異面直線所成的角的理解，了解已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．