Question

【題目】設f（x）是定義在R上恒不為零的函數，且對任意的x、y∈R都有f（x）f（y）=f（x+y），若a1= ，an=f（n）（n∈N*），則數列{an}的前n項和Sn的取值范圍是（ ）
A.[ ，1）
B.[ ，1]
C.（ ，1）
D.（ ，1]

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵對任意x，y∈R，都有f（x）f（y）=f（x+y）， ∴令x=n，y=1，得f（n）f（1）=f（n+1），
即 = =f（1）= ，
∴數列{an}是以 為首項，以 為公比的等比數列，
∴an=f（n）=（ ）n ，
∴Sn= =1﹣（ ）n ，
由1﹣（ ）n在n∈N*上遞增，可得最小值為1﹣ = ，
則Sn∈[ ，1）．
故選：A．
【考點精析】本題主要考查了數列的前n項和的相關知識點，需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系才能正確解答此題．