Question

【題目】如圖,已知拋物線和,過拋物線上一點作兩條直線與分別相切于兩點,分別交拋物線于兩點.

(1)當的角平分線垂直軸時,求直線的斜率；

(2)若直線在軸上的截距為,求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）-11.

【解析】

（1）法一：根據當∠AHB的角平分線垂直x軸時，點H（4，2），可得kHE=﹣kHF，設E（x1，y1），F（x2，y2），可得y1+y2=﹣2yH=﹣4，從而可求直線EF的斜率；

法二：求得直線HA的方程為y=x﹣4+2，與拋物線方程聯立，求出E，F的坐標，從而可求直線EF的斜率；

（2）法一：設A（x1，y1），B（x2，y2），求出直線HA的方程，直線HB的方程，從而可得直線AB的方程，令x=0，可得t=4y0﹣（y0≥1），再利用導數法，即可求得t的最小值．

法二：求以H為圓心，HA為半徑的圓方程，⊙M方程，兩方程相減，可得直線AB的方程，當x=0時，直線AB在y軸上的截距t=4m﹣（m≥1），再利用導數法，即可求得t的最小值．

(1)法一：∵當的角平分線垂直軸時,點,

∴,

設,

∴,∴

∴,

.

法二：∵當的角平分線垂直軸時,點,

∴,可得 ,

∴直線的方程為,

聯立方程組得,

∵,∴ .

同理可得 .

∴.

(2)法一：

設點,,.

以為圓心,為半徑的圓方程為：,①

方程：.②

①-②得：直線的方程為.

當時,直線在軸上的截距,

∵關于的函數在[1,+∞)單調遞增,

∴.

法二：設,∵,∴,

可得,直線的方程為,

同理,直線的方程為,

∴ ,

∴直線的方程為,

令,可得,

∵關于的函數在[1,+∞)單調遞增,

∴.