Question

已知拋物線的頂在坐標原點，焦點到直線的距離是
（1）求拋物線的方程；
（2）若直線與拋物線交于兩點，設線段的中垂線與軸交于點 ，求的取值范圍.

Answer 1

（1）（2）

試題分析：（1）已知點到直線的距離利用距離公式 可求得,可直接寫出拋物線方程; （2）把直線方程與拋物線方程聯立整理成二次方程,用韋達定理可求出線段中點的坐標,再寫出中垂線方程,即可求出直線與軸交點的縱坐標,利用二次函數求值域的方法可求出的范圍.這個過程中不用討論判別式,不用討論斜率,值域也是二次函數的值域問題,是直線與圓錐曲線中的較易者.
試題解析：（1）由題意，，故 
所以拋物線的方程為.
（2）設,則由得,
則，所以線段 的中點坐標為，
線段的中垂線方程為 ,
即，令，則 ,
所以.