Question

已知函數f(x)=log2

x

1-x

．
（Ⅰ）求函數的定義域；
（Ⅱ）根據函數單調性的定義，證明函數f（x）是增函數．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由 

x

1-x

＞0得 x（1-x）＞0，由此解得x的范圍，即為函數的定義域．
（Ⅱ）證明：任取x₁、x₂∈（0，1）且x₁＜x₂，化簡f（x₁）-f（x₂）=log2(

x1

x2

•

1-x2

1-x1

)＜0，從而可得f（x₁）＜f（x₂），從而得到函數f（x）是增函數．

解答：（Ⅰ）解：由 

x

1-x

＞0得 x（1-x）＞0，解得 0＜x＜1，∴函數的定義域為 （0，1）．
（Ⅱ）證明：任取x₁、x₂∈（0，1）且x₁＜x₂，則f(x1)-f(x2)=log2

x1

1-x1

-log2

x2

1-x2

=log2(

x1

1-x1

•

1-x2

x2

)=log2(

x1

x2

•

1-x2

1-x1

)．
∵0＜x₁＜x₂＜1，∴0＜1-x₂＜1-x₁＜1，∴0＜

x1

x2

＜1且  0＜

1-x2

1-x1

＜1，
即  0＜

x1

x2

•

1-x2

1-x1

＜1，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故函數f（x）是增函數．

點評：本題主要考查求函數的定義域的方法，函數的單調性的定義和證明，屬于基礎題．