Question

一個袋中有大小相同的標(biāo)有1，2，3，4，5，6的6個小球，某人做如下游戲，每次從袋中拿一個球（拿后放回），記下標(biāo)號．若拿出球的標(biāo)號是3的倍數(shù)，則得1分，否則得-1分．
（1）求拿4次至少得2分的概率；
（2）求拿4次所得分數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）拿4次至少得2分包括2分和4分兩種情況，這兩種情況是互斥的，根據(jù)獨立重復(fù)試驗的概率公式做出結(jié)果，再把兩部分相加得到結(jié)果．
（2）看出變量的可能的取值，結(jié)合變量對應(yīng)的事件，做出變量對應(yīng)的概率和分布列，再做出變量對應(yīng)的期望值．

解答：解：（1）設(shè)拿出球的號碼是3的倍數(shù)的為事件A，則P（A）=

1

3

，
拿4次至少得2分包括2分和4分兩種情況．
P1=

C

3 4

(

1

3

)3×

2

3

=

8

81

，P2=(

1

3

)4=

1

81

P=P₁+P₂=

1

9

…（5分）
（2）ξ的可能取值為-4，-2，0，2，4，
則P（ξ=-4）=(

2

3

)4=

16

81

；  P（ξ=-2）=

C

1 4

×

1

3

×(

2

3

)3=

32

81

P（ξ=0）=

C

2 4

×(

1

3

)2×(

2

3

)2=

24

81

     P（ ξ=2）=

8

81

，P（ ξ=4）=

1

81

∴分布列為

P	-4	-2	0	2	4
ξ	16 81	32 81	24 81	8 81	1 81

∴Eξ=-4×

16

81

+(-2)×

32

81

+2×

8

81

+4×

1

81

=-

3

4

…（14分）

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，本題解題的關(guān)鍵是利用獨立重復(fù)試驗的概率公式做出概率的值，本題是一個中檔題目．