Question

【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列滿足．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）數(shù)列滿足，它的前項(xiàng)和為，

（ⅰ）求；

（ⅱ）若存在正整數(shù)，使不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），；（2）（ⅰ）；（ii）或．

【解析】

（1）根據(jù)已知，當(dāng)時(shí)，求出，當(dāng)是，利用，得到數(shù)列的遞推關(guān)系，進(jìn)而證明數(shù)列是等差數(shù)列，即可求出結(jié)論；

（2）（ⅰ）由數(shù)列通項(xiàng)公式的特征，用錯(cuò)位相減法求出；

（ⅱ）對(duì)分為奇數(shù)、偶數(shù)討論，分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為存在正整數(shù)，使得或，求出最值，即可得出結(jié)論.

（1），

當(dāng)時(shí)，，∴或（舍去）

當(dāng)時(shí)，由，得，

兩式相減得：，∴，

即，∴．

又∵數(shù)列為正項(xiàng)數(shù)列，故，也即，

∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，

∴，．

（2）（ⅰ），則

①，

②，

可得：，

故．

（ⅱ）即不等式成立，

若為偶數(shù)，則，所以，

設(shè)，則在單調(diào)遞減，

故當(dāng)時(shí)，，所以；

若為奇數(shù)，則，所以

設(shè)，則在單調(diào)遞增，

故當(dāng)時(shí)，，所以，

綜上所述，的取值范圍或．