Question

設函數f（x）=

ex+x-a

（a∈R，e為自然對數的底數）．若曲線y=sinx上存在點（x₀，y₀）使得f（f（y₀））=y₀，則實數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：正弦函數的圖象

專題：三角函數的圖像與性質

分析：由題意可得存在y₀∈[0，1]，使f（y₀）=y₀成立，即f（x）=x在[0，1]上有解，即e^x+x-x²=a，x∈[0，1]．利用導數可得函數的單調性，根據單調性求函數的值域，可得a的范圍．

解答： 解：由題意可得 y₀=sinx₀∈[-1，1]，f（y₀）=

ey0+y0-a

，
∵曲線y=sinx上存在點（x₀，y₀）使得f（f（y₀））=y₀，∴存在y₀∈[0，1]，使f（y₀）=y₀成立，
即f（x）=x在[0，1]上有解，即 e^x+x-x²=a 在[0，1]上有解．
令g（x）=e^x+x-x²，則a為g（x）在[0，1]上的值域．
∵當x∈[0，1]時，g′（x）=e^x+1-2x＞0，故函數g（x）在[0，1]上是增函數，
故g（0）≤g（x）≤g（1），即1≤a≤e，
故答案為：[1，e]．

點評：本題主要考查正弦函數的圖象和性質，利用導數研究函數的單調性，由單調性求函數的值域，體現了轉化的數學思想，屬于基礎題．