Question

【題目】設函數

（1） 判斷并證明f(x)在定義域內的單調性；

（2）證明：當x＞－1時， ；

（3）設當x≥0時， ，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)增；(2)見解析； (3) .

【解析】試題分析：(1) 求出， 得增區間， 得減區間；（2）將函數的解析式代入整理成，組成新函數，然后根據其導函數判斷單調性進而可求函數的最小值，進而可得證；（3）先確定函數的取值范圍，然后對分和兩種情況進行討論，當時根據的范圍可直接得到不成立；當時，令，然后對函數進行求導，根據導函數判斷單調性并求出最值，求的范圍.

試題解析：(1) 在定義域內增

（2）當 時， 當且僅當．

令 ，則.

當 時 ，g(x)在 是減函數；當 時 ，g(x)在 是增函數．

于是函數g(x)在 處達到最小值，因而當 時， ，即 ．

所以當 時， ．

（3）由題意 ，此時 ，

當 時，若，則 ， 不成立；

當 時，令，則當且僅當．

．

由（1）知，即 ，

．

（ⅰ）當時， ，h(x)在 是減函數， ，即．

（ⅱ）當時，由（ⅰ）知，即 ，

，

當時， ，所以 ，即．

綜上，a的取值范圍是 ．