Question

記關于x的不等式

x-a

x+1

＞0的解集為P，不等式|x-1|≤1的解集為Q，
（1）若a=3，求P∪Q．
（2）若Q⊆P，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）若a=3，不等式即（x-3）（x+1）＞0，由此求得 P．解決對峙不等式求出Q，從而求出P∪Q．
（2）分a＞-1、a=-1、a＜-1三種情況，分別利用Q⊆P求出實數a的取值范圍，再取并集即得所求．

解答：解：（1）若a=3，不等式

x-a

x+1

＞0即

x-3

x+1

＞0，即 （x-3）（x+1）＞0，解得 x＜-1，或 x＞3，∴P=（-∞，-1）∪（3，+∞）．
由不等式|x-1|≤1可得-1≤x-1≤1，即 0≤x≤2，故 Q=[0，2]．
∴P∪Q=（-∞，-1）∪[0，2]∪（3，+∞）．
（2）當a＞-1時，由

x-a

x+1

＞0可得 x＞a或 x＜-1，∴P=（-∞，-1）∪（a，+∞）．
再由Q⊆P可得，a＜0．
當a=-1時，P=R，滿足Q⊆P．
當a＜-1時，由

x-a

x+1

＞0可得x＜a 或x＞-1，∴P=（-∞，a）∪（-1，+∞），顯然滿足Q⊆P．
故實數a的取值范圍為（-∞，0）．

點評：本題主要考查分式不等式的解法，集合間的關系，體現了等價轉化和分類討論的數學思想，屬于中檔題．