【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形
為矩形，直線
平面，
，
，
，點
在棱
上.
（1）求證：
；
（2）若是的中點，求異面直線
與
所成角的余弦值；
（3）若
，求二面角
的余弦值.
【答案】（1）見解析（2）
(3) 
【解析】試題分析：（1）由
平面
，得
；再由， 
得， 
平面
.（2）先建立空間直角坐標系
，由
，
，利用夾角公式可求異面直線
與
所成角的余弦值.（3）由
得
.再求出平面
和平面
的法向量，即可求得二面角
的余弦值為
.
試題解析：
（1）證明：因為平面，所以，又，所以平面，又
平面，故
.
（2）因為
，所以，又由（1）得，，所以以
為坐標原點，
，
，
所在直線分別為
，
，
軸，建立如圖所示空間直角坐標系，
則
，
，
，
.
所以，，所以
，
所以異面直線與所成角的余弦值為
.
（3）因為
平面，所以平面的一個法向量
，由知
為
的三等分點且此時.在平面中，
，
，所以平面的一個法向量
.
所以
，又因為二面角的大小為銳角，所以該二面角的余弦值為.
名校通行證有效作業系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了解防震知識在中學生中的普及情況，某地震部門命制了一份滿分為10分的問卷到紅星中學做問卷調查．該校甲、乙兩個班各被隨機抽取
名學生接受問卷調查，甲班
名學生得分為5，8，9，9，9乙班5名學生得分為6，7，8，9，10．
（Ⅰ）請你估計甲乙兩個班中，哪個班的問卷得分更穩定一些；
（Ⅱ）如果把乙班5名學生的得分看成一個總體，并用簡單隨機抽樣方法從中抽取樣本容量為2的樣本，求樣本平均數與總體平均數之差的絕對值不小于1的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，某小區擬在空地上建一個占地面積為2400平方米的矩形休閑廣場，按照設計要求，休閑廣場中間有兩個完全相同的矩形綠化區域，周邊及綠化區域之間是道路（圖中陰影部分），道路的寬度均為2米．怎樣設計矩形休閑廣場的長和寬，才能使綠化區域的總面積最大？并求出其最大面積.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，已知圓
的圓心在直線
上，且該圓存在兩點關于直線
對稱，又圓
與直線
相切，過點
的動直線
與圓
相交于
兩點，
是
的中點，直線
與
相交于點
．
（1）求圓
的方程；
（2）當
時，求直線
的方程；
（3）
是否為定值？如果是，求出其定值；如果不是，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知橢圓
：
的離心率
，過點
，
的直線與原點的距離為
，
是橢圓上任一點，從原點
向圓
：
作兩條切線，分別交橢圓于點
，
.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若記直線
，
的斜率分別為
，
，試求
的值.
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