Question

【題目】如圖，已知橢圓：的離心率，過點，的直線與原點的距離為，是橢圓上任一點，從原點向圓：作兩條切線，分別交橢圓于點，.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若記直線，的斜率分別為，，試求的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】【試題分析】（1）依據題設條件及基本量之間的關系建立建立方程組求解；（2）運用直線與圓的位置關系聯立方程組，借助坐標之間的關系分析探求：

（Ⅰ）因為離心率，所以，而，

所以，即①

設過點，的直線方程為，

即，

因為直線與原點的距離為，

所以，整理得：②

由①②得，

所以橢圓的方程為.

（Ⅱ）因為直線：，：，與圓相切，由直線和圓相切的條件：，可得，

平方整理，可得，

，

所以，是方程的兩個不相等的實數根，，因為點在橢圓上，所以，即，所以為定值；