Question

如圖，在直角梯形ABCD中AD∥BC，BC⊥CD，∠ABC=45°，直角梯形ABCD與矩形ADQP所在平面垂直，將矩形ADQP沿PD對折，使得翻折后點Q落在BC上，設DC=1．

（1）求證：AQ⊥DQ；
（2）求線段AD的最小值，并指出此時點Q的位置；
（3）當AD長度最小時，求直線BD與平面PDQ所成的角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）要證AQ⊥CD，只需通過平面ABCD⊥平面ADQP，證明PA⊥平面ABCD，然后證明CD⊥平面ADQP，即可
（2）設CQ=x，AD=y，在Rt△ADQ中，通過y²=DQ²+AQ²=x²+1+（y-x）²+1，利用基本不等式求出AD的最小值．
（3）連接BD交AQ于E，過點E作EF⊥PQ于F，說明∠EDF就是BD與平面PDQ所成的角，通過△PAQ為等腰直角三角形．
求出sin∠EDF．

解答：（1）證明∵平面ABCD⊥平面ADQP，PA⊥AD，
∴PA⊥平面ABCD，由已知PQ⊥QD，QD⊥PA，∴QD⊥平面AQP
AQ?平面AQP∴AQ⊥CD，…4分
（2）解：設CQ=x，AD=y，∵AQ⊥DQ，
∴在Rt△ADQ中，y²=DQ²+AQ²=x²+1+（y-x）²+1
∴y=x+

1

x

≥2，當且僅當x=1時取等號．
所以AD的最小值為2，此時CQ=1．
（3）解：由DQ⊥平面PAQ，知平面PDQ⊥平面PAQ，PQ是其交線，
連接BD交AQ于E，過點E作EF⊥PQ于F，EF⊥平面PDQ．
∴∠EDF就是BD與平面PDQ所成的角．…（11分）
由已知得AQ=

2

，PQ=2∴△PAQ為等腰直角三角形．
∴EF=

1

2

，ED=

10

2

∴sin∠EDF=

EF

ED

=

10

10

…（14分）
（注：用向量方法或體積法解答正確給相應的分數）

點評：本題考查直線與直線的垂直，直線與平面的垂直，線段的距離，直線與平面所成的角的求法，考查計算能力，轉化思想空間想象能力．