Question

如圖，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD=DC=PD=2．點E、F分別是PC、BD的中點，現將△PDC沿CD折起，使PD⊥平面ABCD，
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）求點A到平面PBC的距離．

Answer 1

分析：（1）連接AC，由底面ABCD是正方形，知AC交BD于點F，且F是AC中點，由點E為PC中點，知EF∥PA，由此能夠證明EF∥平面PAD．
（2）設點A到平面PBC的距離為h，由V_A-PBC=V_P-ABC，利用等積法能夠求出點A到平面PBC的距離．

解答：解：（1）連接AC，∵底面ABCD是正方形，∴AC交BD于點F，且F是AC中點，
又點E為PC中點，∴EF∥PA，EF?平面PAD，PA?平面PAD∴EF∥平面PAD．
（2）設點A到平面PBC的距離為h．∵PD⊥底面ABCD，∴PDBBC，
又DCaBC，DCbPC=D，∴BC⊥面PDC，∴BC⊥PC．
又由PD⊥DC，PD=DC=2，得PC=

2

，∴S△PBC=

1

2

•PC•BC=

1

2

•2

2

•2=2

2

從而VA-PBC=

1

3

•S△PBC•h=

2 2

3

h．
另一方面，∵PD⊥底面ABCD，AB⊥BC，且PD=AB=BC=2，
∴V_P-ABC=

1

3

•S△ABC•PD=

1

3

×

1

2

×2×2×2=

4

3

，
∵V_A-PBC=V_P-ABC，∴

2 2

3

h=

4

3

，解得h=

2

，
∴點A到平面PBC的距離為

2

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查點到平面距離的求法，解題時要認真審題，注意等積法的合理運用．