Question

如圖，在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB＜CD，SD⊥平面ABCD，AB=AD=a，SD=

2

a．
（Ⅰ）求證：平面SAB⊥平面SAD；
（Ⅱ）設SB的中點為M，且DM⊥MC，試求出四棱錐S-ABCD的體積．

Answer 1

分析：（I）由已知中，∠A=∠D=90°SD⊥平面ABCD，我們易得AB⊥AD，SD⊥AB，由線面垂直的判定定理，可得AB⊥平面SAD，再由面面垂直的判定定理，可得平面SAB⊥平面SAD；
（II）連接BD，∵∠A=∠D=90°，AB=AD=a，SD=

2

a，我們可得△DBA為等腰直角三角形，結合SB的中點為M，且DM⊥MC，我們易得四棱錐S-ABCD的高為SD，分別求出棱錐的底面面積和高，代入棱錐的體積公式，即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）證明：∵∠A=90°，∴AB⊥AD
又SD⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴SD⊥AB
∴AB⊥平面SAD．
又AB?平面SAB，
∴平面SAB⊥平面SAD．
（Ⅱ）連接BD，∵∠A=∠D=90°，AB=AD=a，
∴BD=

2

a=SD
∴∠DBA=45°
又M為SB中點，
∴DM⊥SB
由條件DM⊥MC，MC∩SB=M，∴DM⊥面SBC，又BC?面SBC，
則DM⊥BC，由（1）可知SD⊥BC，SD∩DM=D，∴BC⊥面SDB，則BC⊥BD，
由平面幾何知識，則△BDC是等腰直角三角形，
則DC=

2

DB=2a，
故VS-ABCD=

1

3

SABCD•SD=

1

3

(

a+2a

2

)•a.

2

•a=

2

2

a3

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，棱錐的體積，熟練掌握空間直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關系的判定、性質、定義、幾何特征是解答此類問題的關鍵．