Question

為了解某校學生數學競賽的成績分布，從該校參加數學競賽的學生成績中抽取一個樣本，并分成5組，繪成頻率分布直方圖如圖，從左到右各小組的小長方形的高之比為1：2：2：20：5，最右邊一組的頻數是20，請結合直方圖的信息，解答下列問題；
（Ⅰ）樣本容量是多少？
（Ⅱ）現用分層抽樣的方法在該樣本中抽取30個學生的成績作進一步調查，問成績在120分到150分的學生有幾個？
（Ⅲ）已知成績在120分到150分的學生中，至少有5個是男生，求成績在120分到150分的學生中，男生比女生多的概率．

Answer 1

分析：（I）利用頻率分布直方圖中，小矩形的高之比=面積之比=頻率之比，而

頻數

樣本容量

=頻率，代入數據計算可求；
（II）根據頻率之比，可求成績在120分到150分的學生數，算出分層抽樣的抽取比例，乘以抽取人數，可得應從成績在120分到150分的學生中抽取的人數；
（III）用列舉法求出基本事件數和男生比女生多的基本事件數，代入古典概型概率公式計算．

解答：解：（Ⅰ）設樣本容量為n，由題意得

n

1+2+2+20+5

=

20

5

，所以n=120
所以樣本的容量為120；
（Ⅱ）由小長方形的高之比為1：2：2：20：5，得小長方體的面積之比（頻率之比）為1：2：2：20：5，
∴成績在120分到150分的學生有

20

30

×120=80，則分層抽樣抽取的比例

80

120

，
∴抽取30個學生應從成績在120分到150分的學生中抽取

80

120

×30=20人；
（Ⅲ）設成績在120分到150分的學生中，男生比女生多的事件記為A，男生數與女生數記為數對（x，y），
則基本事件有：（5，15），（6，14），（7，13），（8，12），（9，11），（10，10），（11，9），
（12，8），（13，7），（14，6），（15，5），（16，4），（17，3），（18，2），（19，1），（20，0）共16對，
而事件A包含的事件有：（11，9），（12，8），（13，7），（14，6），（15，5），
（16，4），（17，3），（18，2），（19，1），（20，0）共10對．
∴P(A)=

10

16

=

5

8

．

點評：本題考查了分層抽樣方法，頻率分布直方圖，考查了古典概型的概率計算，列舉法求基本事件個數是求古典概型概率的基本方法．