Question

設A、B、C、D是半徑為2的球面上的四點，且滿足AB⊥AC，AD⊥AC，AB⊥AD，則S_△ABC+S_△ABD+S_△ACD的最大值是

8

．

Answer 1

分析：根據題意，以AB、AC、AD為長、寬、高作長方體，可得長方體與三棱錐D-ABC有相同的外接球．從而算出長方體的對角線長為4，得AB²+AC²+AD²=16．再利用基本不等式求最值即可算出S_△ABC+S_△ABD+S_△ACD的最大值．

解答：解：∵AB⊥AC，AD⊥AC，AB⊥AD，
∴以AB、AC、AD為長、寬、高，作長方體如圖所示
可得長方體的外接球就是三棱錐D-ABC的外接球
∵球的半徑為2，可得直徑為4
∴長方體的對角線長為4，得AB²+AC²+AD²=16
∵S_△ABC=

1

2

AB•AC，S_△ABD=

1

2

AB•AD，S_△ACD=

1

2

AC•AD
∴S_△ABC+S_△ABD+S_△ACD=

1

2

（AB•AC+AB•AD+AC•AD）
∵AB•AC+AB•AD+AC•AD≤AB²+AC²+AD²=16
當且僅當AB=AC=AD時，等號成立
∴當且僅當AB=AC=AD時，S_△ABC+S_△ABD+S_△ACD的最大值為8
故答案為：8

點評：本題求內接于球的三棱錐的側面積的最大值，著重考查了球內接多面體、長方體的性質和基本不等式求最值等知識，屬于中檔題．