Question

【題目】已知函數的定義域為，對于任意的都有，設時， .

（1）求；

（2）證明：對于任意的， ；

（3）當時，若不等式在上恒定成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ; (2)詳見解析;(3) .

【解析】試題分析：（1）令， ， ；（2）令， ， ， ，結合時， 即可得結果；（3）先證明函數在單調遞減，根據，將原不等式化為，可得化簡，利用不等式恒成立可得結果..

試題解析：（1）令， ， .

（2）由題意當時，

由（1）知，當，

所以下證，當時，

， .

（3）

令， ， ，假設，

故函數在單調遞減，

化簡得：

， .

【方法點晴】本題主要考查抽象函數的定義域、抽象函數的單調性及抽象函數解不等式，屬于難題.根據抽象函數的單調性解不等式應注意以下三點：（1）一定注意抽象函數的定義域（這一點是同學們容易疏忽的地方，不能掉以輕心）；（2）注意應用函數的奇偶性（往往需要先證明是奇函數還是偶函數）；（3）化成 后再利用單調性和定義域列不等式組.