Question

【題目】已知函數f(x)＝ax3－bx2＋(2－b)x＋1在x＝x1處取得極大值，在x＝x2處取得極小值，且0＜x1＜1＜x2＜2.

(1)證明：a＞0；

(2)若z＝a＋2b，求z的取值范圍.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

(1)證明 求函數f(x)的導數

f′(x)＝ax2－2bx＋2－b.

由函數f(x)在x＝x1處取得極大值，

在x＝x2處取得極小值，

知x1、x2是f′(x)＝0的兩個根，

所以f′(x)＝a(x－x1)(x－x2).

當x＜x1時，f(x)為增函數，f′(x)＞0，

由x－x1＜0，x－x2＜0得a＞0.

(2)解 在題設下，0＜x1＜1＜x2＜2等價于

即化簡得

此不等式組表示的區域為平面aOb上的三條直線：

2－b＝0，a－3b＋2＝0，4a－5b＋2＝0所圍成的△ABC的內部，其三個頂點分別為A，B(2，2)，C(4，2).

z在這三點的值依次為，6，8.

所以z的取值范圍為.