Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求函數在上的最大值；

（2）令，若在區間上為單調遞增函數，求的取值范圍；

（3）當時，函數的圖象與軸交于兩點且，又是的導函數.若正常數滿足條件.證明：<0.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3），理由見解析

【解析】試題分析：（1），可知在[,1]是增函數，在[1,2]是減函數，所以最大值為f(1).(2)在區間上為單調遞增函數,即在上恒成立。，利用分離參數在上恒成立，即求的最大值。

（3）有兩個實根， ，兩式相減，又，

．要證：，只需證：，令可證。

試題解析：（1）

函數,1]是增函數，在[1,2]是減函數，

所以．

（2）因為，所以，

因為在區間單調遞增函數，所以在（0，3）恒成立

，有=，（）

綜上：

（3）∵，又有兩個實根，

∴，兩式相減，得，

∴,

于是

．

要證：，只需證：

只需證：．(*)

令，∴(*)化為 ，只證即可．

在（0，1）上單調遞增，，

即．∴．

（其他解法根據情況酌情給分）