Question

(本小題滿分14分)
設(shè)橢圓（）的兩個(gè)焦點(diǎn)是和（），且橢圓與圓有公共點(diǎn)．
（1）求的取值范圍；
（2）若橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距離為，求橢圓的方程；
（3）對(duì)（2）中的橢圓，直線（）與交于不同的兩點(diǎn)、，若線段的垂直平分線恒過點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）（2）（3）

解析試題分析：解：（1）由已知，，
∴方程組有實(shí)數(shù)解，從而，故 …2分
所以，即的取值范圍是．                   ……………4分
（2）設(shè)橢圓上的點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為，
則
（）．                           ……………6分
∵，∴當(dāng)時(shí)，，
于是，，解得 ．
∴所求橢圓方程為．                       ……………8分
（3）由得 （*）
∵直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)，　∴△，即．①  ………10分
設(shè)、，則、是方程（*）的兩個(gè)實(shí)數(shù)解，
∴，∴線段的中點(diǎn)為，
又∵線段的垂直平分線恒過點(diǎn)，∴，
即，即（k）②          ……………12分
由①，②得，，又由②得，
∴實(shí)數(shù)的取值范圍是．                            ……………14分
考點(diǎn)：橢圓的方程和性質(zhì)；直線的方程；兩直線垂直的判定定理。
點(diǎn)評(píng)：本題第一小題也可這樣來求解，橢圓跟y軸正半軸的交點(diǎn)為，若橢圓要與圓相交，則；第二小題可以結(jié)合橢圓的特點(diǎn)來求，當(dāng)橢圓上的點(diǎn)是時(shí)，它到附近的焦點(diǎn)的距離就是最短距離；第三小題需要注意直線與橢圓相交時(shí)應(yīng)滿足的條件。