Question

（本小題滿分12分）
設雙曲線的方程為，、為其左、右兩個頂點，是雙曲線 上的任意一點，作，，垂足分別為、，與交于點.
（1）求點的軌跡方程；
（2）設、的離心率分別為、，當時，求的取值范圍.

Answer 1

（1）點的軌跡方程是（點除外）（2）

解析試題分析：（1）如圖，設，，，，，，
   

由①×②得：  ③
，，代入③得，即.
經檢驗，點，不合題意，因此點的軌跡方程是（點除外）
（2）由（1）得的方程為.
，
，，

考點：本試題考查了軌跡方程的求解。
點評：解決該試題的關鍵是求軌跡方程先設點的坐標，然后借助于題目中的垂直關系得到坐標關系，從而得到軌跡方程。同時能利用離心率的表達式求解其范圍，屬于中檔題。