Question

【題目】已知函數．

（1）求函數的單調區間；

（2）證明：當時，關于的不等式恒成立；

（3）若正實數滿足，證明．

Answer 1

【答案】（1）單調減區間為，函數的增區間是；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）求導函數，從而可確定函數的單調性；（2）構造函數，利用導數研究其最值，將恒成立問題進行轉化；（3）將代數式放縮，構造關于的一元二次不等式，解不等式即可．

試題解析：（1），由，得，

又，所以，所以的單調減區間為，函數的增區間是，

（2）令，

所以

因為，

所以，令，得，

所以當；當時，，

因此函數在是增函數，在是減函數，

故函數的最大值為

令，因為，又因為在是減函數，

所以當時，，即對于任意正數總有，

所以關于的不等式恒成立；

（3）由，

即，

從而

令，則由得，，

可知在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，

所以，所以，又，

因此成立．