Question

【題目】已知圓心為的圓過原點，且直線與圓相切于點.

（1）求圓的方程；

（2）已知過點的直線的斜率為，且直線與圓相交于兩點.

①若，求弦的長；

②若圓上存在點，使得成立，求直線的斜率.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①，②.

【解析】

試題（1）圓心在線段的垂直平分線上，圓心也在過點且與垂直的直線上，聯立求圓心，進而得半徑即可；

（2）①垂徑定理即可求弦長；

②圓上存在點，使得成立，即四邊形是平行四邊形，又，有都是等邊三角形，進而得圓心到直線的距離為，列方程求解即可.

試題解析：

（1）由已知得，圓心在線段的垂直平分線上，

圓心也在過點且與垂直的直線上，

由得圓心，

所以半徑，

所以圓的方程為；

（2）①由題意知，直線的方程為，即，

∴圓心到直線的距離為，

∴；

②∵圓上存在點，使得成立，

∴四邊形是平行四邊形，

又，

∴都是等邊三角形，

∴圓心到直線的距離為，

又直線的方程為，即，

∴，

解得.