Question

【題目】某電視臺舉行一個比賽類型的娛樂節目，A、B兩隊各有六名選手參賽，將他們首輪的比賽成績作為樣本數據，繪制成莖葉圖如圖所示，為了增加節目的趣味性，主持人故意將A隊第六位選手的成績沒有給出，并且告知大家B隊的平均分比A隊的平均分多4分，同時規定如果某位選手的成績不少于21分，則獲得“晉級”．
（1）根據莖葉圖中的數據，求出A隊第六位選手的成績；
（2）主持人從A隊所有選手成績中隨機抽2個，求至少有一個為“晉級”的概率；
（3）主持人從A、B兩隊所有選手成績分別隨機抽取2個，記抽取到“晉級”選手的總人數為ξ，求ξ的分布列及數學期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：設A隊第六位選手的成績為x，

由題意得： （9+11+13+24+31+x= （11+12+21+25+27+36），

解得x=20，

∴A隊第六位選手的成績為20．

（2）解：由（1）知A隊6位選手中成績不少于21分的有2位，即A隊6位選手中有2人獲得“晉級”．

主持人從A隊所有選手成績中隨機抽2個，基本事件總數n= =15，

至少有一個為“晉級”的概率p=1﹣ = ．

（3）解：由題意A隊6位選手中有2人獲得“晉級”，B隊6位選手中有4人獲得“晉級”，

主持人從A、B兩隊所有選手成績分別隨機抽取2個，記抽取到“晉級”選手的總人數為ξ，

則ξ的可能取值為0，1，2，3，4，

P（ξ=0）= = ，

P（ξ=1）= + = ，

P（ξ=2）= + + = ，

P（ξ=3）= + = ，

P（ξ=4）= = ，

∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4
P

Eξ= +3× +4× =2．

【解析】（1）設A隊第六位選手的成績為x，利用莖葉圖及平均數的定義能求出A隊第六位選手的成績．（2）A隊6位選手中有2人獲得“晉級”．主持人從A隊所有選手成績中隨機抽2個，先求出基本事件總數，再由對立事件概率計算公式能求出至少有一個為“晉級”的概率．（3）由題意A隊6位選手中有2人獲得“晉級”，B隊6位選手中有4人獲得“晉級”，則ξ的可能取值為0，1，2，3，4，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列及數學期望．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用頻率分布直方圖和離散型隨機變量及其分布列的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握頻率分布表和頻率分布直方圖，是對相同數據的兩種不同表達方式.用緊湊的表格改變數據的排列方式和構成形式，可展示數據的分布情況.通過作圖既可以從數據中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息；在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列．