Question

{a_n}是由實數構成的無窮等比數列，S_n=a₁+a₂+…+a_n，關于數列{S_n}，給出下列命題：
（1）數列{S_n}中任意一項均不為0；
（2）數列{S_n}中必有一項為0；
（3）數列{S_n}中或者任意一項均不為0，或者有無窮多項為0；
（4）數列{S_n}中一定不可能出現S_n=S_n+2；
（5）數列{S_n}中一定不可能出現S_n=S_n+3；
則其中正確的命題是

 

．（把正確命題的序號都填上）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：推理和證明

分析：對于①舉反例an=(-1)n即可．對于②舉反例a_n=n即可．對于③是正確的命題，q≠1時可證S_n≠0恒成立，
q=-1時S_n有有無窮多項為0；對于④利用③的結論即可反證．對于⑤利用反證即可

解答： 解：{a_n}是由實數構成的無窮等比數列，S_n=a₁+a₂+…+a_n
對于①，令a_n=（-1）ⁿ，則n=2k時S_n=S_2k=0，故結論是不正確的
對于②令a_n=1，則S_n=n＞0恒成立，故結論不正確
對于③，當q=1時，S  n=na₁≠0恒成立，
當q≠1且q≠-1時，S_n=

a1(1-qn)

1-q

≠0恒成立
當q=-1時，n=2k時，S_n=0，n=2k-1時，S_n=a₁≠0恒成立．
綜上可得結論是正確的．
對于④，由①可知結論是不正確的．
對于⑤，若S_n=S_n+3，則a_n+1+a_n+2+a_n+3=0，∴a_n（1+q+q²）=0，∵a_n≠0，1+q+q²≠0
可知結論是正確的．
故答案為：③④

點評：本題借助數列的前n項和以命題的形式考查數列的概念，屬于基礎題易錯題．