Question

定義在R上的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x＞0時，f（x）=x（1+x）+1，
（1）求函數(shù)的解析式
（2）求函數(shù)的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用奇函數(shù)定義求解，注意f（0）的值．（2）根據(jù)二次函數(shù)，分段函數(shù)解析式求解．

解答： 解：（1）∵在R上的奇函數(shù)f（x），
∴f（-x）=f（x），即x=0，則f（0）=0
∵當(dāng)x＞0時，f（x）=x（1+x）+1，
∴當(dāng)x＜0時，-x＞0，f（-x）=（-x）（1-x）+1=x²-x+1，
f（x）=-x²+x-1，（x＜0）
故f（x）=

x2+x+1，x＞0 0，x=0 -x2+x-1，x＜0

（2）根據(jù)解析式可判斷，
∵當(dāng)x＞0時，函數(shù)單調(diào)遞增，f（x）＞1，
當(dāng)x＜0時，函數(shù)單調(diào)遞增，f（x）＜-1，
∴函數(shù)的值域值域?yàn)椋海?∞，-1）∪（1，+∞）∪{0}

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，概念，屬于容易題．