Question

已知函數，函數是區間上的減函數.
（1）求的最大值；
（2）若恒成立，求的取值范圍；
(3）討論關于的方程的根的個數．

Answer 1

（1）的最大值為（2）.（3）當方程無解；
當時，方程有一個根；當時，方程有兩個根.

解析試題分析：（1）由題意由于，所以函數，又因為該函數是在區間上的減函數，所以可以得到的范圍；
（2）由對所有滿足條件的實數及對任意，在上恒成立 解出即可；
（3）利用方程與函數的關系可以構造成兩函數圖形的交點個數加以分析求解．
試題解析：（1），
上單調遞減，

在[-1，1]上恒成立，，故的最大值為
（2）由題意

（其中），恒成立，
令，
若，則有恒成立，
若，則，
恒成立，
綜上，
（3）由
令

當上為增函數；
當時，為減函數；
當而
方程無解；
當時，方程有一個根；
當時，方程有兩個根.
考點：導數在最大值、最小值問題中的應用；利用導數研究函數的單調性；利用導數求閉區間上函數的最值．