Question

【題目】在中，，，AB的垂直平分線分別交AB，AC于D、E（圖一），沿DE將折起，使得平面平面BDEC（圖二）．

（1）若F是AB的中點，求證：平面ADE．

（2）P是AC上任意一點，求證：平面平面PBE．

（3）P是AC上一點，且平面PBE，求二面角的大小．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）

【解析】

（1）取BD的中點為M，連續FM，CM，通過證明面面ADE，由此證得面ADE；（2）由平面幾何知識可知，，平面平面BDEC，則平面BDEC，從而，根據線面垂直的判定定理可知面ACD，而面PBE，最后根據面面垂直的判定定理可知平面平面PBE；

（3）根據（2）面ACD，設，則，，根據二面角平面角的定義可知為二面角的平面角，在三角形PQC中求出此角即可．

（1）證明：取BD的中點為M，連續FM，CM

為AB的中點，，

由題知為等邊三角形，，又

，∴面面ADE，面CMF，面ADE

　　

圖1　　　　　　　　　　　　　　　　　　圖2

（2）證明：由平面幾何知識：，，平面平面BDEC

平面BDEC，，面ACD，面PBE，

∴平面平面PBE

（3）由（2）面ACD，

設，

由題意知，，

為二面角的平面角

，，，

∴二面角的大小為