Question

【題目】已知函數，且在處切線垂直于軸．

（1）求的值；

（2）求函數在上的最小值；

（3）若恒成立，求滿足條件的整數的最大值．

（參考數據，）

Answer 1

【答案】（1）；（2）0；（3）2.

【解析】

（1）依題意，，由此即可求得的值；

（2）求導，研究函數在，上的單調性，進而得到最值；

（3）先分析，再證明當時滿足條件即可得到的最大值．

（1）因為在處切線垂直于軸，則

因為，則，則

（2）由題意可得，注意到，

則則

因此單調遞減，，

因此存在唯一零點使得，則在單調遞增，

在單調遞減，，則在上恒成立

從而可得在上單調遞增，則

（3）必要條件探路

因為恒成立，令，則

因為，由于為整數，則，

因此

下面證明恒成立即可

①當時，由（1）可知，則

故，設，

則，則在單調遞減

從而可得，由此可得在恒成立．

②當時，下面先證明一個不等式：，設

則，則在單調遞減，在單調遞增

因此，那么

由此可得

則，

因此單調遞增，，

則在上單調遞增，因此

綜上所述：的最大值整數值為．