Question

【題目】已知橢圓的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，離心率，短軸長(zhǎng)為2.

（1）求橢圓的方程；

（2）點(diǎn)為橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)（非長(zhǎng)軸端點(diǎn)），的延長(zhǎng)線與橢圓交于點(diǎn)， 的延長(zhǎng)線與橢圓交于點(diǎn)，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 （2）面積的最大值為

【解析】試題分析：（1） 由題意得，再由， 標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）①當(dāng)的斜率不存在時(shí)，不妨取

； ②當(dāng)的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，聯(lián)立方程組

，又直線的距離 點(diǎn)到直線的距離為 面積的最大值為.

試題解析：（1） 由題意得，解得，

∵，∴， ，

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，不妨取

，

故；

②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為 ，

聯(lián)立方程組，

化簡(jiǎn)得，

設(shè)

點(diǎn)到直線的距離

因?yàn)?/span>是線段的中點(diǎn)，所以點(diǎn)到直線的距離為，

∴

綜上， 面積的最大值為.