Question

設(shè)A，B分別是直線y=

2

2

x和y=-

2

2

x上的兩個動點，且|

AB

|=

2

，O為坐標原點，動點P滿足

OP

=

OA

+

OB

．
（1）記動點P的軌跡為C，求C的方程
（2）過點（

3

，0）作兩條互相垂直的直線l₁，l₂，與軌跡C的相交弦分別為MN，EF，設(shè)弦MN，EF的中點分別為G，H，求證：直線GH恒過一個定點．

Answer 1

考點：軌跡方程,直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)P（x，y）是所求軌跡上的任一點，A，B的坐標，利用動點P滿足

OP

=

OA

+

OB

，確定坐標之間的關(guān)系，利用A，B分別是直線y=

2

2

x和y=-

2

2

x上的兩個動點，且|

AB

|=

2

，建立方程即可；
（2）求出G，H的坐標，可得直線方程，由對稱性知，定點在x軸上，令y=0，可得結(jié)論．

解答： （1）解：設(shè)P（x，y）是所求軌跡上的任一點，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵

OP

=

OA

+

OB

，
∴x=x₁+x₂，y=y₁+y₂，
∵A，B分別是直線y=

2

2

x和y=-

2

2

x上的兩個動點，
∴x=x₁+x₂=

2

（y₁-y₂），y=y₁+y₂=

2

2

（x₁-x₂），
∵|

AB

|=

2

，
∴

( 2 y)2+( 2 2 x)2

=

2

∴

x2

4

+y2=；
（2）證明：設(shè)M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），直線l₁：x=ky+

3

，
代入橢圓方程可得（4+k²）y²+2

3

ky-1=0，
∴y₃+y₄=-

2 3 k

4+k2

，x₃+x₄=

8 3

4+k2

，
∴G（

4 3

4+k2

，-

3 k

4+k2

），
同理H（

4 3 k2

4k2+1

，

3 k

4k2+1

）．
直線MN的斜率為k=

5k

4(k2-1)

，
∴直線MN的方程為y+

3 k

4+k2

=

5k

4(k2-1)

（x-

4 3

4+k2

），
由對稱性知，定點在x軸上，令y=0，可得x=

4 3

5

，
當斜率不存在時也成立．
故定點為（

4 3

5

，0）．

點評：本題考查圓錐曲線和直線的位置關(guān)系和綜合應(yīng)用，具有一定的難度，解題的關(guān)鍵是直線與橢圓的聯(lián)立，確定直線GH的方程．