Question

已知函數f(x)=log_a(a^x-1)(a＞1).

(1)求f(x)的定義域;

(2)當x為何值時,函數值大于1;

(3)討論f(x)的單調性;

(4)解方程f(2x)=f^-1(x).

Answer 1

解：(1)∵a＞1,由a^x-1＞0,得x＞0.

∴f(x)的定義域為(0,+∞).

(2)由log_a(a^x-1)＞1,

故當a＞1時,x＞log_a(a+1),

即當x＞log_a(a+1)時,f(x)＞1.

(3)當a＞1時,f(x)在定義域(0,+∞)上單調遞增.

(4)由y=log_a(a^x-1)(a＞1)得其反函數為f^-1(x)=log_a(a^x+1).

∴log_a(a^x+1)=log_a(a^2x-1).

∵對數函數在整個定義域上是單調的,

∴有a^x+1=a^2x-1.   ∴(a^x-2)(a^x+1)=0.

∴a^x=2,a^x=-1(舍去).

∴x=log_a2.