Question

在數列中，且對任意的成等比數列，其公比為，
（1）若；
（2）若對任意的成等差數列，其公差為．
①求證：成等差數列，并指出其公差；
②若，試求數列的前項和．

Answer 1

(1);(2)①；②或

試題分析：(1)由于，因此成等比數列，且公比為4，故和易求；（2）①要證明是等差數列，就是要證明為常數，也就是要找到與的關系，我們從唯一的已知條件有即，這就是變形為即由此就證得；②求數列的前項和，必須先求出通項，而，因此又應該求出，這時我們來看看已知可得出什么？由得即，解得：或，從而可求得，于是可通過是公差為1的等差數列，求出，下面我們想辦法通過把聯系起來，，于是
，而再用可得出，所以，那么可求．
試題解析：（1）因為，所以（1分）
故是首項為1，公比為4的等比數列，
所以（4分）
（2）①因為成等差數列，所以
而所以（6分）
則得
所以所以是等差數列，且公差是等差數列，且公差為1． （9分）
②因為所以則由，解得：或。
（11分）
(i) 當時，，所以，則即，得，所以
則
所以（13分）
則，故；（14分）
（ii）當時，，所以，則即，得，（15分）
則
所以（17分）
則，故（18分）
綜上所述，或