Question

【題目】已知點P（﹣1， ）是橢圓E： =1（a＞b＞0）上一點，F1 ， F2分別是橢圓E的左、右焦點，O是坐標原點，PF1⊥x軸．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設A，B是橢圓E上兩個動點，滿足： （0＜λ＜4，且λ≠2），求直線AB的斜率．
（3）在（2）的條件下，當△PAB面積取得最大值時，求λ的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵PF1⊥x軸，∴F1（﹣1，0），c=1，F2（1，0），

∴|PF2|= = ，∴2a=|PF1|+|PF2|=4，∴a=2，∴b2=3，

∴橢圓E的方程為：

（2）

證明：設A（x1，y1）、B（x2，y2），

由 （0＜λ＜4，且λ≠2），得（x1+1，y1﹣ ）+（x2+1，y2﹣ ）=λ（1，﹣ ），

∴x1+x2=λ﹣2，y1+y2= （2﹣λ）…①

又 ，兩式相減得3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0…．．②

以①式代入可得AB的斜率k= =

（3）

解：設直線AB的方程為y= x+t，與3x2+4y2=12聯立消去y并整理得 x2+tx+t2﹣3=0，△=3（4﹣t2），

|AB|= |x1﹣x2|= × = ，

點P到直線AB的距離為d= ，

△PAB的面積為S= |AB|×d= × |t﹣2|，

設f（t）=S2=﹣ （t4﹣4t3+16t﹣16）（﹣2＜t＜2），

f′（t）=﹣3（t3﹣3t2+4）=﹣3（t+1）（t﹣2）2，由f′（t）=0及﹣2＜t＜2得t=﹣1．

當t∈（﹣2，﹣1）時，f′（t）＞0，

當t∈（﹣1，2）時，f′（t）＜0，f（t）=﹣1時取得最大值 ，

所以S的最大值為 ．

此時x1+x2=﹣t=1=λ﹣2，λ=3．

【解析】（1）由PF1⊥x軸，求出2a=|PF1|+|PF2|=4，由此能求出橢圓E的方程．（2）設A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2），由 （0＜λ＜4，且λ≠2），得x1+x2=λ﹣2，y1+y2= （2﹣λ），再由3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，由此能求出AB的斜率．（3）設直線AB的方程為y= x+t，與3x2+4y2=12聯立得 x2+tx+t2﹣3=0，由此利用根的判別式、弦長公式、點到直線距離公式、三角形面積公式，求出△PAB的面積為S= × |t﹣2|，設f（t）=S2=﹣ （t4﹣4t3+16t﹣16）（﹣2＜t＜2），求出f′（t）=﹣3（t+1）（t﹣2）2 ， 由f′（t）=0及﹣2＜t＜2得t=﹣1．由此能求出結果．
【考點精析】關于本題考查的橢圓的標準方程，需要了解橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：才能得出正確答案．