Question

（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐V—ABCD中，底面ABCD是矩形，側棱VA⊥底面ABCD，E、F、G分別為VA、VB、BC的中點。（I）求證：平面EFG//平面VCD；   （II）當二面角V—BC—A、V—DC—A分別為45°、30°時，求直線VB與平面EFG所成的角。

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)   （Ⅲ）

解析:

（I）∵E、F、G分別為VA、VB、BC的中點，

∴EF//AB，FG//VC，又ABCD是矩形，∴AB//CD，

∴EF//CD，又∵EF平面VCD，FG平面VCD

∴EF//平面VCD，FG//平面VCD，

又EF∩FG=F，∴平面EFG//平面VCD。…4分

 （II）方法一：∵VA⊥平面ABCD，CD⊥AD，∴CD⊥VD。

則∠VDA為二面角V—DC—A的平面角，∠VDA=30°。

同理∠VBA=45°。……7分

作AH⊥VD，垂足為H，由上可知CD⊥平面VAD，則AH⊥平面VCD。

∵AB//平面VCD，∴AH即為B到平面VCD的距離。

由（I）知，平面EFG//平面VCD，則直線VB與平面EFG所成的角等于直線VB與平面VCD所成的角，記這個角為。

………………11分

故直線VB與平面EFG所成的角   ………………12分

方法二：∵VA⊥平面ABCD，CD⊥AD，∴CD⊥VD。

則∠VDA為二面角V—DC—A的平面角，∠VDA=30°。

同理∠VBA=45°。……7分建立如圖所示的空間直角坐標系

設平面EFG的法向量為，

則n亦為平面VCD的法向量。

設直線VB與平面EFG所成的角為

則

  11分

故直線VB與平面EFG所成的角  …12分