Question

【題目】已知數列滿足，數列的前項和為．

（1）求的值；

（2）若．

①求證：數列為等差數列；

②求滿足的所有數對．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）①見解析；②（10，4）.

【解析】

(1)給中的n取值n=1,2,即得的值.(2) ①根據已知得到a2n=n+，所以數列{a2n}為等差數列，公差為1．②先求出，再代入得到（2m+p+9）（2m﹣p+3）=27，分析得到，從而得到滿足的所有數對．

（1）由，可得：，可得a1+a3=．

（2）①∵，∴a2n﹣a2n﹣1=，a2n+1+a2n=，可得a2n+1+a2n﹣1=．

∴1==（a1+a3）+（a3+a5）=4a3，解得a3=，∴a1=．

∴a2n﹣1﹣=﹣=……=（﹣1）n﹣1=0，解得a2n﹣1=，

可得a2n=n+．

∴數列{a2n}為等差數列，公差為1．

②由①可得：a2n+1=a1，

∴S2n=a1+a2+……+a2n

=（a2+a3）+（a4+a5）+……+（a2n+a2n+1）

=．

由滿足，可得：+3p=4，

化為：（2m+p+9）（2m﹣p+3）=27，

∵m，p∈N*，可得2m+p+9≥12，且2m+p+9，2m﹣p+3都為正整數，

∴，解得p=10，m=4．

故所求的數對為（10，4）．