Question

（2013•黑龍江二模）選修4-5：不等式選講
設函數f（x）=|x+1|+|x-a|（a＞0）
（Ⅰ）若a=2時，解不等式f（x）≤4；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤4的對一切x∈[a，2]恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）不等式f（x）≤4 即|x+1|+|x-2|≤4，再由絕對值的意義求得不等式f（x）≤4的解集．
（Ⅱ）當x∈[a，2]，不等式即 x+1+x-a≤4，解得 a≥2x-3，求得2x-3的最大值為2×2-3=1，可得a≥1，從而得到 1≤a≤2．

解答：解：（Ⅰ）由于函數f（x）=|x+1|+|x-a|（a＞0），若a=2時，則不等式f（x）≤4 即|x+1|+|x-2|≤4．
而由絕對值的意義可得|x+1|+|x-2|表示數軸上的x對應點到-2和2對應點的距離之和，而-

3

2

和

5

2

應點到-2和2對應點的距離之和正好等于4，
故不等式f（x）≤4的解集為[-

3

2

，

5

2

]．
（Ⅱ）當x∈[a，2]，不等式即 x+1+x-a≤4，解得 a≥2x-3．由于2x-3的最大值為2×2-3=1，∴a≥1，
故 1≤a≤2，實數a的取值范圍為[1，2]．

點評：本題主要考查絕對值的意義，絕對值不等式的解法，函數的恒成立問題，屬于中檔題．