Question

（2013•黑龍江二模）求“方程（

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）^x+（

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）^x=1的解”有如下解題思路：設f（x）=（

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）^x+（

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）^x，則f（x）在R上單調遞減，且f（2）=1，所以原方程有唯一解x=2．類比上述解題思路，方程x⁶+x²=（x+2）³+（x+2）的解集為

{-1，2}

．

Answer 1

分析：類比求“方程（

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）^x+（

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）^x=1的解的解題思路，設f（x）=x³+x，利用導數研究f（x）在R上單調遞增，從而根據原方程可得x²=x+2，解之即得方程x⁶+x²=（x+2）³+（x+2）的解集．

解答：解：類比上述解題思路，設f（x）=x³+x，由于f′（x）=3x²+1≥0，則f（x）在R上單調遞增，
由x⁶+x²=（x+2）³+（x+2）即（x²）³+x²=（x+2）³+（x+2），
∴x²=x+2，
解之得，x=-1或x=2．
所以方程x⁶+x²=（x+2）³+（x+2）的解集為{-1，2}．
故答案為：{-1，2}．

點評：本題主要考查了類比推理，考查了導數與單調性的關系，函數單調性的應用，屬于中檔題．