Question

【題目】如圖所示，Rt△AOB的直角邊OA在x軸上，OA=2，AB=1，將Rt△AOB繞點O逆時針旋轉90°得到，拋物線經過B、D兩點．

（1）求二次函數的解析式；

（2）連接BD，點P是拋物線上一點，直線OP把△BOD的周長分成相等的兩部分，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或．

【解析】

（1）由旋轉性質可得CD=AB=1，OA=OC=2，從而得到點B,D的坐標，代入解析式即可得出答案；

（2）由直線OP把的周長分成相等的兩部分，且OB=OD，知DQ=BQ，即點Q為BD的中點，從而得到點Q的坐標，求得直線OP解析式，代入拋物線解析式可得點P的坐標.

（1）∵Rt△AOB繞點O逆時針旋轉90°得到Rt△COD，

∴CD=AB=1，OA=OC=2，則點B（2，1），D（﹣1，2），代入解析式，

得，解得，

∴二次函數的解析式為y=﹣x2+x+.

（2）如圖：

∵OA=2，AB=1，∴B（2，1）.

∵直線OP把△BOD的周長分成相等的兩部分，且OB=OD，

∴DQ=BQ，即點Q為BD的中點，D（﹣1，2），

∴點Q坐標為（，）.

設直線OP解析式為y=kx，

將點Q坐標代入，得k=，解得k=3，

∴直線OP的解析式為y=3x，

代入y=﹣x2+x+，得﹣x2+x+=3x，

解得x=1或x=﹣4.

當x=1時，y=3；當x=﹣4時，y=﹣12.

∴點P坐標為（1，3）或（﹣4，﹣12）．